Question

已知函數(shù) f（x）=x²+4|x-a|（x∈R）．
（Ⅰ）存在實數(shù)x₁、x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=f（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）對任意的x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k成立，求實數(shù)k的最小值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，由題意可得函數(shù)f（x）在[-1，1]上不單調(diào)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．
（Ⅱ）分類討論求得函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值M（a） 和最小值為m（a），求得M（a）-m（a），結(jié)合題意可得k≥M（a）-m（a），從而得到k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù) f（x）=x²+4|x-a|=

x2+4x-4a，x≥a x2-4x+4a，x＜a

，由題意可得函數(shù)f（x）在[-1，1]上不單調(diào)，
當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，不滿足條件．
當(dāng)a≤時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，不滿足條件．
∴-1＜a＜1，此時，函數(shù)f（x）在[-1，a]上單調(diào)遞減，在（a，1]上單調(diào)遞增，
（Ⅱ）∵對任意的x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k成立，
設(shè)函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為M（a），最小值為m（a），
當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，M（a）=f（-1）=4a+5，m（a）=f（1）=4a-3．
當(dāng)a≤時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，M（a）=f（1）=5-4a，m（a）=f（-1）=-4a-3．
∴-1＜a＜1，函數(shù)f（x）在[-1，a]上單調(diào)遞減，在（a，1]上單調(diào)遞增，m（a）=f（a）=a²，M（a）=max{f（1），f（-1）}={5-4a，5+4a}．
即當(dāng)0＜a＜1時，M（a）=5+4a，當(dāng)-1＜a＜0時，M（a）=5-4a．
綜上可得，M（a）-m（a）=

8，a≤-1或a≥1 -a2+4a+5，0＜a＜1 -a2-4a+5，-1＜a≤0

，由對任意的x₁、x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，
可得k≥M（a）-m（a），
故當(dāng)a≥1 或a≤-1時，k≥8；
當(dāng)0≤a＜1時，k≥-a²+4a+5=9-（a-2）²，由9-（a-2）²∈[5，8），可得k≥8；
當(dāng)-1＜a≤0時，k≥-a²-4a+5=9-（a+2）²，由9-（a+2）²∈[5，8），可得k≥8．
綜合可得，k≥8．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，分段函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．