Question

已知圓內(nèi)接△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且△ADC為正三角形，點(diǎn)E為BC的延長線上一點(diǎn)，AE為圓O的切線．
（Ⅰ）求∠BAE 的度數(shù)；
（Ⅱ）求證：CD²=BD•EC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明∠EBA=∠EAC，可得∠EAB=∠ECA，利用△ADC為正三角形，即可求∠BAE 的度數(shù)；
（Ⅱ）先證明△ABD∽△EAC，可得AD•CA=BD•EC，再結(jié)合△ACD為等邊三角形，所以AD=AC=CD，即可得出結(jié)論

解答： 證明：（Ⅰ）在△EAB與△ECA中，
因?yàn)锳E為圓O的切線，
所以∠EBA=∠EAC
因?yàn)椤螮公用，
所以∠EAB=∠ECA，
因?yàn)椤鰽DC為正三角形，
所以∠BAE=∠ECA=120°；
（Ⅱ）因?yàn)锳E為圓O的切線，所以∠ABD=∠CAE．             
因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，所以∠ADC=∠ACD，
所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．               
所以

AD

BD

=

EC

CA

，即AD•CA=BD•EC．                      
因?yàn)椤鰽CD為等邊三角形，所以AD=AC=CD，
所以CD²=BD•EC．

點(diǎn)評：本題考查三角形相似的判斷，考查圓的切線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．