Question

已知z為復數(shù)，z+2i和

z

2-i

均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．
（Ⅰ）求復數(shù)z和|z|；
（Ⅱ）若z₁=

.

z

+

1

m-1

-

7

m+2

i的對應點在第四象限，求m的范圍．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,復數(shù)的基本概念

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（Ⅰ）設z=a+bi（a，b∈R），由條件利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)求得a、b的值，可得復數(shù)z和|z|．
（Ⅱ）化簡z₁=

.

z

+

1

m-1

-

7

m+2

i，再根據(jù)它對應點在第四象限，求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設z=a+bi（a，b∈R），則由z+2i=a+（b+2）i為實數(shù)，∴b+2=0，∴b=-2．
則由

z

2-i

=

a+bi

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i為實數(shù)，可得

a+2b

5

=0，∵b=-2，∴a=4．
∴z=4-2i，∴|z|=

42+(-2)2

=2

5

．…（6分）
（Ⅱ）z1=

.

z

+

1

m-1

-

7

m+2

i=4+

1

m-1

+(2-

7

m+2

)i=

4m-3

m-1

+

2m-3

m+2

i，又∵z₁在第四象限，
∴

4m-3 m-1 ＞0 2m-3 m+2 ＜0

，∴

m＞1或m＜ 3 4 -2＜m＜ 3 2

，∴-2＜m＜

3

4

或1＜m＜

3

2

．

點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之間的關系，復數(shù)的模的定義，屬于基礎題．