Question

3．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂=2，S₅=15，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$，則數(shù)列{b_n}的前10項和為（　�。�

• A． $\frac{11}{24}$
• B． $\frac{175}{132}$
• C． $\frac{175}{264}$
• D． $\frac{17}{24}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項公式及其求和公式可得a_n，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=2，S₅=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
則數(shù)列{b_n}的前10項和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{12}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{11}-\frac{1}{12}）$
=$\frac{175}{264}$．
故選：C．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．