Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）證明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以A₁為原點(diǎn)，A₁C₁為x軸，A₁B₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

A1B

=（0，2，2）和平面ADC₁的法向量，由

n

•

A1B

=0，且A₁B?平面ADC₁，能證明A₁B∥平面ADC₁．
（2）分別求出平面BB₁C₁C的法向量和平面ADC₁的法向量，由兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積為0，能證明平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

解答： （1）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，
∴以A₁為原點(diǎn)，A₁C₁為x軸，A₁B₁為y軸，A₁A為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=AC=AA₁=2，
A₁（0，0，0），B（0，2，2），A（0，0，2），
C（2，0，2），D（1，1，2），C₁（2，0，0），

A1B

=（0，2，2），

AD

=（1，1，0），

AC1

=（2，0，-2），
設(shè)平面ADC₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AD =x+y=0 n • AC1 =2x-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
∵

n

•

A1B

=0-2+2=0，且A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）證明：∵

DC

=（1，-1，0），

DC1

=（1，-1，-2），
設(shè)平面BB₁C₁C的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • DC =a-b=0 m • DC1 =a-b-2c=0

，取a=1，得

m

=（1，1，0），
又平面ADC₁的法向量

n

=（1，-1，1），

n

•

m

=1-1+0=0，
∴平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．