Question

已知點(diǎn)P是雙曲線

x2

4

-y²=1上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則

PA

•

PB

=（　　）

• A、-

  12

  25

• B、

  12

  25

• C、-

  24

  25

• D、-

  4

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），則

m2

4

-n²=1，即m²-4n²=4，求出漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再求向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)P（m，n），則

m2

4

-n²=1，即m²-4n²=4，
由雙曲線

x2

4

-y²=1的漸近線方程為y=±

1

2

x，
則由

y= 1 2 x y-n=-2(x-m)

解得交點(diǎn)A（

4m+2n

5

，

2m+n

5

）；
由

y=- 1 2 x y-n=2(x-m)

解得交點(diǎn)B（

4m-2n

5

，

n-2m

5

）．

PA

=（

2n-m

5

，

2m-4n

5

），

PB

=（

-m-2n

5

，

-2m-4n

5

），
則有

PA

•

PB

=

2n-m

5

•

-m-2n

5

+

2m-4n

5

•

-2m-4n

5

=

m2-4n2

25

+

4(4n2-m2)

25

=-

3

25

（m²-4n²）=-

3

25

×4=-

12

25

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．