Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期π的偶函數(shù)，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1； 當(dāng)x∈（0，π） 且x≠

π

2

時(shí)，（x-

π

2

）f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A、2
• B、4
• C、5
• D、8

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵當(dāng)x∈（0，π） 且x≠

π

2

時(shí)，（x-

π

2

）f′（x）＞0，
∴當(dāng)

π

2

＜x＜π時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)遞增，
當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)遞減，
∵函數(shù)f（x）是最小正周期π的偶函數(shù)，
∴由y=f（x）-sinx=0得f（x）=sinx，
作出函數(shù)f（x）和y=sinx，在[-2π，2π]的圖象如圖：
則兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．