Question

已知各項(xiàng)為正的等差數(shù)列{a_n}的公差為d=1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=λ，a_n+1b_n+1+a_nb_n=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N），是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,存在型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)，即可得到通項(xiàng)公式；
（2）化簡整理?xiàng)l件，可令c_n=

nbn

(-1)n

，則c₁=-b₁=-λ，c_n+1-c_n=1，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得b_n，存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則由前三項(xiàng)，解方程可得λ=-1或3．再討論即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由

1

a1a2

+

1

a2a3

=

a3+a1

a1a2a3

=

2

3

，
由于{a_n}為等差數(shù)列，則a₁+a₃=2a₂，
則

2a2

a1a2a3

=

2

3

，即有a₁a₃=3，由于a₁＞0，d=1，
則a₁（a₁+2）=3，解得，a₁=1或-3（舍去），
則有數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=a₁+n-1=n；
（2）由a_n+1b_n+1+a_nb_n=（-1）ⁿ⁺¹（n∈N），
即（n+1）b_n+1+nb_n=（-1）ⁿ⁺¹，

(n+1)bn+1

(-1)n+1

-

nbn

(-1)n

=1，
令c_n=

nbn

(-1)n

，則c₁=-b₁=-λ，c_n+1-c_n=1，
數(shù)列{c_n}為首項(xiàng)為-λ，公差為1的等差數(shù)列，
c_n=

nbn

(-1)n

=n-λ-1，b_n=

(n-λ-1)•(-1)n

n

，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
b₁=λ，b₂=

1-λ

2

，b₃=

λ-2

3

，
則b₂²=b₁b₃，即λ•

λ-2

3

=（

1-λ

2

）²，
解得，λ=-1或3．
當(dāng)λ=-1時(shí)，b_n=（-1）ⁿ，則{b_n}為等比數(shù)列，
當(dāng)λ=3時(shí)，b_n=

(n-4)•(-1)n

n

，b₄=0，則{b_n}不為等比數(shù)列．
則存在實(shí)數(shù)λ=-1，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)，考查構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．