Question

18．如圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？

Answer 1

分析 設(shè)小正方形的邊長為x，可得盒子高h=x，底邊長為a-2x，可得盒子容積V=x（a-2x）²，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），再由三元基本不等式，a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，即可得到所求最大值．

解答 解：設(shè)小正方形的邊長為x，
則盒子高h=x，底邊長為a-2x，
得盒子容積V=x（a-2x）²，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），
由V=$\frac{1}{4}$•4x•（a-2x）•（a-2x）≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{4x+a-2x+a-2x}{3}$）³
=$\frac{1}{4}$•$\frac{8{a}^{3}}{27}$=$\frac{2{a}^{3}}{27}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=a-2x，即x=$\frac{a}{6}$∈（0，$\frac{a}{2}$），取得最大值．
故切去的正方形邊長是$\frac{a}{6}$時，才能使盒子的容積最大．

點評 本題考查函數(shù)模型問題的解法，注意運用三元基本不等式求得最值，設(shè)出自變量求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．