Question

7．已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₂=6，a₅=15，數(shù)列{b_n}滿足b₂=8，b₅=31，且{b_n-a_n}為等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過a₂=6、a₅=15可求出公差，進(jìn)而可得通項公式a_n=3n；通過q³=$\frac{_{5}-{a}_{5}}{_{2}-{a}_{2}}$=8可得公比，進(jìn)而可得{b_n-a_n}的通項公式，從而$_{n}=3n+{2}^{n-1}$；
（2）通過（1）可知$_{n}=3n+{2}^{n-1}$，進(jìn)而利用分組法求和可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{3}=\frac{15-6}{3}=3$，
所以a₁=3，所以a_n=a₁+（n-1）d=3n（n?N₊）．
設(shè)等比數(shù)列{b_n-a_n}的公比為q，由題意得q³=$\frac{_{5}-{a}_{5}}{_{2}-{a}_{2}}$=8，
解得q=2．所以$_{n}-{a}_{n}=（_{2}-{a}_{2}）{q}^{n-2}={2}^{n-1}（n?{N}_{+}）$，
所以$_{n}=3n+{2}^{n-1}$（n?N₊）．
（2）由（1）知$_{n}=3n+{2}^{n-1}$，數(shù)列{a_n}的前n項和為$\frac{3}{2}$n（n+1），
數(shù)列{2^n-1}的前n項和為2ⁿ-1．
所以數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{3}{2}$n（n+1）+2ⁿ-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查分組法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．