Question

【題目】已知幾何體P﹣ABCD如圖，面ABCD為矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分別為AC、BP中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：EF∥面PCD；
（Ⅱ）求直線BP與面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，
∵四邊形ABCD是矩形，E是AC的中點(diǎn)，
∴E是BD的中點(diǎn)．又F是BP的中點(diǎn)，
∴EF∥PD，又EF平面PCD，PD平面PBD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）取AP的中點(diǎn)H，連結(jié)HB，HC，過B作BO⊥HC于O，連結(jié)OP．
∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∵AP平面PAB，
∴BC⊥AP，
∵△PAB是等邊三角形，∴AP⊥HB，
又BC平面BCH，BH平面BCH，BC∩BH=B，
∴AP⊥平面BCH，又OB平面BCH，
∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH平面PAC，AP平面PAC，CH∩AP=H，
∴OB⊥平面PAC．
∴∠BPO為PB與平面PAC所成的角．
∵AB=2，BC=1，∴BH= ，CH= =2，
∴BO= = ，
∴sin∠BPO= = ．
即直線BP與面PAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）連結(jié)BD，則E為BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（Ⅱ）取AP的中點(diǎn)H，連結(jié)HB，HC，過B作BO⊥HC于O，連結(jié)OP．則可證AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，結(jié)合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO為PB與平面PAC所成的角．利用勾股定理計(jì)算BH，CH，OB，得出sin∠BPO= ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．