Question

平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為

6

．
（1）求圓O的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（

2

，2）的直線l與圓O相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，利用勾股定理求出圓O的半徑，寫出圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）討論直線l的斜率是否垂直，利用圓心O到直線l的距離d=r，求出斜率，得出直線l的方程．

解答： 解：（1）畫出圖形，如圖所示；
過(guò)點(diǎn)O作OC垂直于直線AB，垂足為C，連接OB，
OC=

|1×0-1×0+1|

12+(-1)2

=

2

2

，
∴圓O的半徑為OB=

OC2+( AB 2 )2

=

( 2 2 )2+( 6 2 )2

=

2

；
∴圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=2；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線過(guò)點(diǎn)P（

2

，2），
方程為y-2=k（x-

2

），
即kx-y+2-

2

k=0；
又圓心O到直線l的距離為d=r，
∴

|2- 2 k|

k2+1

=

2

，
解得k=

2

4

，
此時(shí)圓的切線方程為

2

x-4y+6=0；
當(dāng)斜率k不存在時(shí)，圓的切線方程為x-

2

=0；
綜上，切線l的方程為

2

x-4y+6=0或x-

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相切的應(yīng)用問題，解題時(shí)通常應(yīng)用圓心到直線的距離等于半徑來(lái)解答，是基礎(chǔ)題目．