Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求線段AB中點M的直角坐標(biāo)；
（2）若|PA|•|PB|=|OP|²，其中P（2，$\sqrt{3}$），求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程化為ρ²+3（ρsinθ）²=4，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入即可得出直角坐標(biāo)方程．把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程可得：13t²+56t+48=0，設(shè)點M對應(yīng)的參數(shù)為：t₀，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點坐標(biāo)公式即可得出線段AB中點M的直角坐標(biāo)．
（2）把直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$代入曲線C的普通方程可得：（cos²α+4sin²α）t²+$（8\sqrt{3}sinα+4cosα）$t+12=0，可得|PA|•|PB|=|t₁t₂|，|OP|²=7，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，化為ρ²+3（ρsinθ）²=4，可得x²+4y²=4，化為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
α=$\frac{π}{3}$時，直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．代入曲線C的普通方程可得：13t²+56t+48=0，則t₁+t₂=$-\frac{56}{13}$．
設(shè)點M對應(yīng)的參數(shù)為：t₀，則t₀=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-$\frac{28}{13}$，
∴線段AB中點M的直角坐標(biāo)為$（\frac{12}{13}，-\frac{\sqrt{3}}{13}）$．
（2）把直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$代入曲線C的普通方程可得：（cos²α+4sin²α）t²+$（8\sqrt{3}sinα+4cosα）$t+12=0，
∵|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{12}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$，|OP|²=7，
∴$\frac{12}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=7，解得tan²α=$\frac{5}{16}$，
∵△=32cosα$（2\sqrt{3}sinα-cosα）$＞0，故取tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴直線l的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、弦長公式、斜率計算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．