Question

15．如圖所示，四邊形OABP是平行四邊形，過點P的直線與射線OA、OB分別相交于點M、N，若$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=y$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）利用$\overrightarrow{NM}$∥$\overrightarrow{MP}$，把y用x表示出來（即求y=f（x）的解析式）；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n=f（a_n-1）（n≥2且n∈N*）．
①求證：數(shù)列{${\frac{1}{a_n}}$}為等差數(shù)列；
②設(shè)b_n=$\frac{1}{a_n}$，c_n=$\frac{2^n}{{（{2^{b_n}}+1）•（{2^{{b_{n+1}}}}+1）}}$，求數(shù)列{c_n}前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用向量的三角形法則、向量共線定理即可得出．
（II）①數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n=f（a_n-1）（n≥2且n∈N*），可得a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1，利用等差數(shù)列的定義即可證明．
②$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，b_n=$\frac{1}{a_n}$=n，可得c_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$=$x\overrightarrow{OA}$-y$\overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{MP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{AB}$-x$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$-x$\overrightarrow{OA}$=-（1+x）$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$．
∵$\overrightarrow{NM}$∥$\overrightarrow{MP}$，
∴y=$\frac{x}{1+x}$（x＞0）．
（Ⅱ）①證明：數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n=f（a_n-1）（n≥2且n∈N*），y=$\frac{x}{1+x}$．
當(dāng)n≥2時，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1，即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=1．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
②$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，∴b_n=$\frac{1}{a_n}$=n，
c_n=$\frac{2^n}{{（{2^{b_n}}+1）•（{2^{{b_{n+1}}}}+1）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴數(shù)列{c_n}前n項的和T_n=$（\frac{1}{{2}^{1}+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

點評 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、等差數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．