Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，C、F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．
（1）求證：DF=DE；
（2）若DB=2，DF=4，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明∠OCF=∠OFC，可得∠CFD=∠DEF，可得△DEF為等腰三角形，從而證得DF=DE．
（2）由切割線定理求得圓的半徑r的值，可得⊙O的面積．

解答 解：（1）證明：連結(jié)OF，∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE．
（2）若DB=2，DF=4，則由切割線定理可得DF²=DA•DB，即16=（2+2r）•2，
求得圓的半徑r=3，
故⊙O的面積為πr²=9π．

點評 本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線段、圓的切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．