Question

（本題滿分15分） 如圖，在中，°，，，，分別是，上的點，且，，將沿折起到的位置，使，如圖．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若是的中點，求與平面所成角的大小；

（Ⅲ）點是線段的靠近點的三等分點，點是線段上的點，直線過點且垂直于平面，求點到直線的距離的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）與平面所成角的大小；（Ⅲ）點到直線的距離有最小值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求證：平面，只需證明垂直平面內(nèi)兩條相交直線即可，而，只需再找一條直線垂直即可，結(jié)合折疊前圖形可知，平面，可得，從而可得平面；（Ⅱ）求與平面所成角的大小，可用向量法來求，注意到這三條直線兩兩垂直，因此可以它們建立如圖空間坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，得向量，設(shè)平面法向量為，求出一個法向量，利用線和面所成角的正弦值等于線和法向量所成角的余弦值，即可；（Ⅲ）點到直線的距離的最小值，像這種點不確定可用向量法來解，先確定點的坐標(biāo)為，利用三點共線，可設(shè)，，，可得在直線上的射影為的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式，與二次函數(shù)可得點到直線的距離有最小值.

試題解析：（Ⅰ）由題，，

平面，又平面，

又，

平面．

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，

，，∴，

設(shè)平面法向量為

則 ∴ ∴

∴不妨取又∵

∴

∴，

∴與平面所成角的大小．

（Ⅲ）設(shè)，則，

由題，即

設(shè)，，

設(shè)，即=

，，

即，，

設(shè)點在直線上的射影為， 則

點到直線的距離的平方

由題，故當(dāng)時，點到直線的距離有最小值

考點：線面垂直的判定，線面角的求法，點到直線的距離.