正三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別為A1B1、AB的中點(diǎn)．
①求證：平面A1NC∥平面BMC1；
②若AB=AA1，求BM與AC所成角的余弦值．
①證明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別為A1B1、AB的中點(diǎn)，
所以A1N∥BM，
因?yàn)锽M?平面BMC1，A1N?平面BMC1，
所以A1N∥平面BMC1．
因?yàn)镸、N分別為A1B1、AB的中點(diǎn)，
所以C1M∥CN，
因?yàn)镃1M?平面BMC1，CN?平面BMC1，
所以CN∥平面BMC1．
又因?yàn)镃N∩A1N=N，并且CN?平面A1NC，A1N?平面A1NC
所以平面A1NC∥平面BMC1．
②由 ①可得A1N∥BM，
又因?yàn)锳C∥A1C1，
所以BM與AC所成角等于A1C1與A1N所成的角，
即∠NA1C1為所求或者與其互補(bǔ)．
連接C1N，在△NA1C1中，設(shè)AB=AA1=2，所以A1N=
5
，A1C1=2，NC1=
7
，
所以根據(jù)余弦定理可得：cosNA1C1=
5
10
．
所以BM與AC所成角的余弦值
5
10
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求三棱錐P-EBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．
（I）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）如果E是PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDE；
（Ⅲ）探究：不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置，BD⊥CE是否都成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下列各圖中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：BD1∥平面ACE
（2）過直線BD1是否存在與平面ACE平行的平面，若存在，請(qǐng)作出這個(gè)平面與長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的交線（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用黑色碳素筆和直尺作圖），并證明這兩個(gè)平面平行；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F(xiàn)在CD上（不含C，D兩點(diǎn)）
（1）求多面體ABCDE的體積；
（2）若F為CD中點(diǎn)，求證：EF⊥面BCD；
（3）當(dāng)
DF
FC
的值為多少時(shí)，能使AC∥平面EFB，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DA⊥平面PAC；
（2）試在線段PD上確定一點(diǎn)G，使CG∥平面PAF，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、H分別是線段PA、PD、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥平面AHF；
（2）求證：平面PBC∥平面EFH．

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同步練習(xí)冊(cè)答案