Question

4．平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，且|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}}$|=2，沿BD將四邊形折起成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 16π
• C． 2π
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，將四邊形折起成直二面角A一BD-C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，進(jìn)而根據(jù)2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑，可得三棱錐A-BCD的外接球的表面積．

解答 解：∵平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，且|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}}$|=2，
∴平方得2|$\overrightarrow{AB}$|²+2$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}}$+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，
即2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵將四邊形折起成直二面角A一BD-C，
∴平面ABD⊥平面BDC
∴三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²，
∵2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，
∴AC²=4
∴外接球的半徑為1，
故表面積是4π．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，其中根據(jù)已知求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑是解答的關(guān)鍵．