Question

9．已知函數(shù)f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$（a∈R）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域及實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x）且x∈（0，2]時，g（x）=f（x），求g（-5）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的定義域，由奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x），化簡整理可得a的值；
（Ⅱ）將x換為x+2，可得g（x+4）=g（x），即g（x）是周期為4的函數(shù)，將g（-5）變形為-g（1），計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）∵2^x-1≠0，解得：x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}．     
由$f（-x）=a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}$，$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
∴$a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}=-（a+\frac{2}{{{2^x}-1}}）$，
即2a=$\frac{2•{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$-$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
即2a=2，解得a=1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$．
∵g（x+2）=-g（x），
g（x+4）=g[（x+2）+2]=-g（x+2）=g（x），
∴g（x）是周期為4的函數(shù)．
∴$g（{-5}）=g（3）=g（{1+2}）=-g（1）=-f（1）=-（{1+\frac{2}{2-1}}）=-3$．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，主要考查奇函數(shù)的定義和周期函數(shù)的定義及運用，考查運算能力，屬于中檔題．