Question

11．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1，若$\overrightarrow{e}$為平面單位向量，則|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow•\overrightarrow{e}$|的最大值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由題意可知，|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow•\overrightarrow{e}$|為$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$上的投影的絕對(duì)值與$\overrightarrow$在$\overrightarrow{e}$上投影的絕對(duì)值的和，由此可知，當(dāng)$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$共線時(shí)，|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow•\overrightarrow{e}$|取得最大值，即$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$．

解答 解：|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow•\overrightarrow{e}$|=$|\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{e}|}|+|\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{e}|}|$，
其幾何意義為$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$上的投影的絕對(duì)值與$\overrightarrow$在$\overrightarrow{e}$上投影的絕對(duì)值的和，
當(dāng)$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$共線時(shí)，取得最大值．
∴$（|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}|+|\overrightarrow•\overrightarrow{e}|）_{max}=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}=\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查學(xué)生正確理解問題的能力，是中檔題．