Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若a＞1，求證：存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞a．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），令f′（x）=0，解出極值點(diǎn)，得出極值；
（2）令g（a）等于f（x）的極大值與a的差，使用導(dǎo)數(shù)證明f（x）的極大值大于a即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，即1-a-lnx=0，解得x=e^1-a．
當(dāng)0＜x＜e^1-a時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞e^1-a時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x=e^1-a時(shí)，f（x）取得極大值f（e^1-a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$．
（2）令g（a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$-a，則g′（a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}-1$．
∵a＞1，∴0＜e^1-a＜1，∴g′（a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}-1$＞0．
∴g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（a）＞g（1）=0，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，即$\frac{1}{{e}^{1-a}}$＞a．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的極大值f（e^1-a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$＞a．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，極值的關(guān)系，屬于中檔題．