Question

6．已知a＞0，若方程$\frac{a}{x-a}$=$\sqrt{4ax-2{x}^{2}}$有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 化簡$\frac{a}{x-a}$=$\sqrt{4ax-2{x}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2（x-a）^{2}}$可得$\frac{{a}^{2}}{（x-a）^{2}}$=2a²-2（x-a）²，從而利用判別式求解．

解答 解：∵$\frac{a}{x-a}$=$\sqrt{4ax-2{x}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2（x-a）^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{（x-a）^{2}}$=2a²-2（x-a）²，
∴2（x-a）⁴-2a²（x-a）²+a²=0，
∴△=（-2a²）²-4×2a²≥0，
∴4a²（a²-2）≥0，
故a≥$\sqrt{2}$；
故答案為：[$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時考查了方程的化簡與運算及判別式法的應(yīng)用．