Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=4，$AB=2DC=2\sqrt{5}$．
（Ⅰ）設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （I）欲證平面MBD⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MBD內(nèi)一直線與平面PAD垂直，而根據(jù)平面PAD與平面ABCD垂直的性質(zhì)定理可知BD⊥平面PAD；
（II）過P作PO⊥AD交AD于O，根據(jù)平面PAD與平面ABCD垂直的性質(zhì)定理可知PO⊥平面ABCD，從而PO為四棱錐P-ABCD的高，四邊形ABCD是梯形，根據(jù)梯形的面積公式求出底面積，最后用錐體的體積公式進行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，$AB=2\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．…（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．…（4分）
又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．…（6分）
（Ⅱ）解：過P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．∴PO為四棱錐P-ABCD的高．…（7分）
又△PAD是邊長為2的等邊三角形，
∴$PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2=\sqrt{3}$．…（8分）
在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四邊形ABCD是梯形．…（9分）
在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為$\frac{2×4}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，…（10分）
∴四邊形ABCD的面積為$S=\frac{{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}}{2}×\frac{{4\sqrt{5}}}{5}=6$．…（11分）
故${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×6×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及棱錐的體積等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．