Question

13．如圖所示，在直角梯形ABEF中，將DCEF沿CD折起使∠FDA=60°，得到一個空間幾何體．
（1）求證：AF⊥平面ABCD；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出AF=$\sqrt{3}$，由勾股定理得AF⊥AD，再由DC⊥FD，DC⊥AD，得DC⊥平面ADE，從而DC⊥AF，由此能證明AF⊥平面ABCD．
（2）由題意知DF=2，CE=1，AF=$\sqrt{3}$，BC⊥DC，BC=DC=1，E到平面ABCD的距離d=$\frac{1}{2}AF$，由此能求出三棱錐E-BCD的體積．

解答 證明：（1）由于∠FDA=60°，F(xiàn)D=2，AD=1，
∴AF²=FD²+AD²-2×FD×AD×cos∠FDA=4+1-2×2×1×$\frac{1}{2}$=3，
即AF=$\sqrt{3}$，∴AF²+AD²=FD²，∴AF⊥AD．
又∵DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D，
AD，DF?平面ADF
∴DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，
∴DC⊥AF，
∵AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD．
∴AF⊥平面ABCD．
解：（2）由題意知DF=2，CE=1，AF=$\sqrt{3}$，BC⊥DC，
BC=DC=1，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，E到平面ABCD的距離d=$\frac{1}{2}AF$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱錐E-BCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．