Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx（a≤0）．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，函數(shù)g（x）=mx²-f（x）有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．此題需分a=0和a＜0兩種情況討論；
（Ⅱ）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，函數(shù)g（x）=mx²-f（x）=mx²-x-lnx，可得g′（x）=

2mx2-x-1

x

（x＞0）．通過對m分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，即可得到結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax-b，
由f′（1）=0，得b=1-a．
∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

1-x

x

，可得x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，符合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=1或x=-

1

a

．
∵x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，
∴-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
綜上：a的取值范圍是-1＜a≤0．

（Ⅱ）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，函數(shù)g（x）=mx²-f（x）=mx²-x-lnx，
則g′（x）=

2mx2-x-1

x

（x＞0）．
令h（x）=2mx²-x-1．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，g′（x）=

-x-1

x

＜0，則g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．又g(

1

e

)=-

1

e

+1＞0，g（1）=-1＜0，∴函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)．
（2）當(dāng)m＜0時(shí)，令h（x）=2mx²-x-1的圖象對稱軸為x=

1

4m

＜0，且h（0）=-1＜0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞，即?x₀＞0，使g（x₀）＞0，而g（1）=m-1＜0，∴函數(shù)g（x）存在唯一零點(diǎn)．
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，方程2mx²-x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
又x₁x₂=-

1

2m

＜0，不妨設(shè)x₁＜0，x₂＞0．
當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)x＞x₂時(shí)，h（x）＞0．
∴函數(shù)g（x）在（0，x₂）上為減函數(shù)，在（x₂，+∞）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）有最小值g（x）_min=g（x₂）．
要使g（x）=mx²-x-lnx存在唯一零點(diǎn)，應(yīng)滿足

g′(x2)=0 g(x2)=0

，即

2m x 2 2 -x2-1=0 m x 2 2 -lnx2-x2=0

，消去m得 2lnx₂+x₂-1=0．
令u（x）=2lnx+x-1（x＞0），則u′(x)=

2

x

+1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又h（1）=0，所以h（x）=0有唯一的實(shí)根x=1，因此x₂=1，代入方程組得m=1．
綜上可知，m≤0或m=1．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．