Question

12．在△ABC中，sinA=$\frac{33}{65}$，cosC=$\frac{4}{5}$．
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=56，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的余弦公式進行化簡求解即可．
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的公式，進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理正弦定理進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，sinA=$\frac{33}{65}$，cosC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosC＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$＜A＜$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{3}$，
則$\frac{π}{3}$＜A+C＜$\frac{2π}{3}$或π＜A+C＜$\frac{7π}{6}$（不成立，舍去），
則$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-（\frac{33}{65}）^{2}}$=$\frac{56}{65}$，sinC=$\frac{3}{5}$，
則cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=sinAsinCcosAcosC=$\frac{3}{5}$×$\frac{33}{65}$-$\frac{56}{65}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{5}{13}$
（2）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=56，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•$\frac{56}{65}$=56，
則|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=65，
設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，
則bc=65，
∵cosB=-$\frac{5}{13}$，∴sinB=$\frac{12}{13}$．
由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{\frac{12}{13}}=\frac{c}{\frac{3}{5}}$，
則b=$\frac{20}{13}$c，得c=$\frac{13}{2}$，b=10，
則a²=b²+c²-2bccosA=100+（$\frac{13}{2}$）²-2×10×$\frac{13}{2}$×$\frac{56}{65}$=$\frac{169}{4}-12$=$\frac{121}{4}$，
則a=$\frac{11}{2}$，
即BC=$\frac{11}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的計算和求解，根據(jù)向量數(shù)量積的公式以及正弦定理和余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．注意要根據(jù)三角函數(shù)值的范圍判斷角的取值范圍．綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．