Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-4（a∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，若存在區(qū)間$[{m，n}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，使f（x）在[m，n]上的值域是$[{\frac{k}{m+1}，\frac{k}{n+1}}]$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）得出$f（m）=\frac{k}{m+1}，f（n）=\frac{k}{n+1}$，其中$\frac{1}{2}≤m＜n$，則$f（x）=\frac{k}{x+1}$在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上至少有兩個不同的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，即可求k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{ax-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時，f'（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，（2分）
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，則$x=\frac{1}{a}$，當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)$x∈（{\frac{1}{a}，+∞}）$時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，（4分）
∴當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；當(dāng)a＞0時，f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}）$上為減函數(shù)，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上為增函數(shù)．（5分）
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，f（x）=2x-lnx-4，由（Ⅰ）知：f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上為增函數(shù)，而$[{m，n}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，
∴f（x）在[m，n]上為增函數(shù)，結(jié)合f（x）在[m，n]上的值域是$[{\frac{k}{m+1}，\frac{k}{n+1}}]$知：$f（m）=\frac{k}{m+1}，f（n）=\frac{k}{n+1}$，其中$\frac{1}{2}≤m＜n$，
則$f（x）=\frac{k}{x+1}$在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上至少有兩個不同的實數(shù)根，（7分）
由$f（x）=\frac{k}{x+1}$得k=2x²-2x-（x+1）lnx-4，
記φ（x）=2x²-2x-（x+1）lnx-4，$x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$，則$φ'（x）=4x-\frac{1}{x}-lnx-3$，
記$F（x）=φ'（x）=4x-\frac{1}{x}-lnx-3$，則$F'（x）=\frac{{4{x^2}-x+1}}{x^2}=\frac{{{{（{2x-1}）}^2}+3x}}{x^2}＞0$，
∴F（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上為增函數(shù)，即φ'（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上為增函數(shù)，
而φ'（1）=0，∴當(dāng)$x∈（{\frac{1}{2}，1}）$時，φ'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，（10分）
而$φ（{\frac{1}{2}}）=\frac{3ln2-9}{2}$，φ（1）=-4，當(dāng)x→+∞時，φ（x）→+∞，
故得：$φ（1）＜k≤φ（{\frac{1}{2}}）⇒-4＜k≤\frac{3ln2-9}{2}$，∴k的取值范圍是$（{-4，\frac{3ln2-9}{2}}]$．（12分）

點評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，利用了轉(zhuǎn)化的思想，此題是一道中檔題；