Question

18．已知銳角三角形ABC中的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinB，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若b=4，求三角形ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 由兩向量的坐標及兩向量垂直，得到兩向量數(shù)量積為0求出B的度數(shù)，
（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，將B的度數(shù)代入，根據(jù)最小正周期以及正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出x的范圍即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用基本不等式變形后，求出ac的最大值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將ac的最大值代入計算即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2sinB，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinB（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2B=sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，
∴2B+$\frac{π}{3}$=0或2B+$\frac{π}{3}$=π
解得B=-$\frac{π}{6}$（舍去），或B=$\frac{π}{3}$，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π
由2x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5}{12}$]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$≤4$\sqrt{3}$，
則△ABC面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．