Question

已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，且，

求證：（其中是的導函數(shù)）．

 

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）實數(shù)的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)，確定切線的斜率和切點的坐標，寫出切線的點斜式方程;（Ⅱ）由題設(shè)知，利用其導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值和區(qū)間端點外的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象的示意圖確定函數(shù)在上有兩個零點的條件：

，解出實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)的圖象與軸交于兩個不同的點所以方程的兩個根為，則，兩式相減得結(jié)合

消去可得：，以下只需要用構(gòu)造法證明即可．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）當時，，，切點坐標為，

切線的斜率，則切線方程為，即． 2分

（Ⅱ），則，

∵，故時，．當時，；當時，．

故在處取得極大值． 4分

又，，，則，

所以，在上的最小值是 6分

在上有兩個零點的條件是，解得

所以實數(shù)的取值范圍是 8分

（Ⅲ）因為的圖象與軸交于兩個不同的點

所以方程的兩個根為，則，兩式相減得

，又，則

下證（*），即證明

即證明在上恒成立 10分

因為又，所以

所以，在上是增函數(shù)，則，從而知

故，即成立

考點：1、導數(shù)的幾何意義；2、導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；3、構(gòu)造法解決函數(shù)不等式的綜合問題．