Question

13．設(shè)a為實(shí)數(shù)，給出命題p：關(guān)于x的不等式（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|≥a的解集為空集，命題q：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+ax+2}$的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，若命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：關(guān)于x的不等式（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|≥a的解集為空集?不等式（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|＜a的解集為R，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|，可求得h（x）_max=h（1）=1，從而可求得a＞1；同理可求命題q：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+ax+2}$的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，再由若命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，列不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：命題p：關(guān)于x的不等式（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|≥a的解集為空集?不等式（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|＜a的解集為R，
令h（x）=（${\frac{1}{2}}$）^|x-1|，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，h（x）≤（${\frac{1}{2}}$）^|0=1，即h（x）_max=h（1）=1，
若命題p正確，則a＞h（x）_max，
故a＞1；…3分
命題q：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+ax+2}$的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R?ax²+ax+2≥0的解集為R，…4分
當(dāng)a=0時(shí)，2＞0滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-8a≤0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤8；…6分
綜上所述，若命題q正確，0≤a≤8…7分
若命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p和q中有且僅有一個(gè)正確．
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜0或a＞8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{0≤a≤8}\end{array}\right.$，…10分
所以a＞8或0≤a≤8…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．