Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）令，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；（3）存在實(shí)數(shù).

【解析】

試題分析：（1）把代入函數(shù)解析式得，且定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111707041982834511/SYS201411170704235003139972_DA/SYS201411170704235003139972_DA.007.png">，利用導(dǎo)數(shù)法可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，分別解不等式，，注意函數(shù)定義域，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）此問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)解決，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111707041982834511/SYS201411170704235003139972_DA/SYS201411170704235003139972_DA.015.png">，所以函數(shù)，必有，從而解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法來(lái)解決此問(wèn)題，由題意得，則，令，解得，通過(guò)對(duì)是否在區(qū)間上進(jìn)行分類(lèi)討論，可求得當(dāng)時(shí)，有，滿(mǎn)足條件，從而可求出實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，. 2分

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111707041982834511/SYS201411170704235003139972_DA/SYS201411170704235003139972_DA.007.png">，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 4分

（2）在上恒成立.

令，有， 6分

得，. 8分

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，

. 9分

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，（舍去）； 10分

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，解得，滿(mǎn)足條件； 12分

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，（舍去）. 13分

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值3. 14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)性質(zhì)；2.不等式求解；3.分類(lèi)討論.