Question

4．已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（-x）+f（x）=0，且x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+sinα|+|x+2sinα|）+$\frac{3}{2}$sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{3π}{2}$）對(duì)任意的x∈R，都有f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為（　�。�

• A． [0，π]
• B． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
• D． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)t=sinα，討論t的取值，把x≥0時(shí)的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時(shí)的函數(shù)的最大值，由對(duì)x∈R，都有f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x），可得-6t≤3$\sqrt{3}$，求解該不等式可得答案．

解答 解：設(shè)t=sinα，則t∈[-1，1]；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+t|+|x+2t|）+$\frac{3}{2}$t，
若t≥0，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+3t，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（-x+3t）=x-3t，
由f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的圖象恒在y=f（x-3$\sqrt{3}$）的圖象上方，
則sinα≥0；
當(dāng)t＜0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-t}\\{t，-t＜x＜-2t}\\{x+3t，x≥-2t}\end{array}\right.$，
由f（x）=x+3t，x≥-2t，得f（x）≥t；
當(dāng)-t＜x＜-2t時(shí)，f（x）=t；
由f（x）=-x，0≤x≤-t，得f（x）≥t．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）_min=t．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）_max=-t．
∵對(duì)x∈R，都有f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x），
∴-3t-3t≤3$\sqrt{3}$，解得t≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
綜上可得sinα≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤α≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z．
又α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，∴α∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．