Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-ax，其中a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上有且僅有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調性結合函數(shù)的極值點的個數(shù)，求出a的范圍即可；

解答 解：（1）當a=1，f（x）=lnx+x²-x，則f（1）=0，
又f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x，則切線的斜率k=3，
所以函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=3x-3．              
（2）f（x）=lnx+ax²-ax，x＞0，則f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-ax+1}{x}$，
令t（x）=2ax²-ax+1，
①若a=0，則t（x）=2ax²-ax+1=1＞0，
故f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值點，
故a=0不符題意，舍去；
②若a＜0，t（x）=2ax2-ax+1=2a（x-$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{1}{8}$a，
該二次函數(shù)開口向下，對稱軸x=$\frac{1}{4}$，t（$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{8}$a＞0，
所以t（x）=0在（0，+∞）上有且僅有一根x₀=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，故f'（x₀）=0，
且當0＜x＜x₀時，t（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，x₀）上單調遞增；
當x＞x₀時，t（x）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（x₀，+∞）上單調遞減；
所以a＜0時，函數(shù)f（x）在定義域上有且僅有一個極值點x₀=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，符合題意；                                                     
③若a＞0，t（x）=2ax2-ax+1=2a（x-$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{1}{8}$a，該二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=$\frac{1}{4}$．
（ⅰ）若t（$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{8}$a≥0，即0＜a≤8，t（x）≥t（$\frac{1}{4}$）≥0，
故f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值點，
故0＜a≤8不符題意，舍去；                                                
（ⅱ）若t（$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{8}$a＜0，即a＞8，又t（0）=1＞0，
所以方程t（x）=0在（0，+∞）上有兩根x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，
故f'（x₁）=f'（x₂）=0，
且當0＜x＜x₁時，t（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，x₁）上單調遞增；
當x₁＜x＜x₂時，t（x）＜0，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（x₁，x₂）上單調遞減；
當x＞x₂時，t（x）＞0，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（x₂，+∞）上單調遞增；
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個不同的極值點，故a＞8不符題意，舍去，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a＜0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．