Question

19．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，若對任意的x都有f（x）+f（-x）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x，則不等式f（x）＞1的解集為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （$-\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 首先令x＜0，則-x＞0，根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求出f（x）的解析式；又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0兩種情況分別求出不等式f（x）＞1的解集，最后求其并集即可．

解答 解：∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0時(shí)，f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{lo{g}_{2}x}{0}}&{\stackrel{x＞0}{x=0}}\\{-lo{g}_{2}（-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
①當(dāng)x＞0時(shí)，由log₂x＞1，解得x＞2，
②當(dāng)x＜0時(shí)，由-log₂（-x）＞1，解得x＞-$\frac{1}{2}$，
綜上，得x＞2或x＞-$\frac{1}{2}$，
故不等式f（x）＞1的解集為：（$-\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性質(zhì)的運(yùn)用，考查了分段函數(shù)解析式的求法，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．