Question

14．已知A、B、F分別是橢圓${x^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜1）$的右頂點、上頂點、左焦點，設(shè)△ABF的外接圓的圓心坐標(biāo)為（p，q）．若p+q＞0，則橢圓的離心率的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 分別求出線段FA與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立解出圓心坐標(biāo)P，利用p+q＞0，與離心率計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
線段FA的垂直平分線為：x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$．
線段AB的中點（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}$）．
∵k_AB=-b．
∴線段AB的垂直平分線的斜率k=$\frac{1}$．
∴線段AB的垂直平分線方程為：y-$\frac{2}$=$\frac{1}$（x-$\frac{1}{2}$），
把x=$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$=p代入上述方程可得：y=$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$=q．
∵p+q＞0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-^{2}}}{2}$+$\frac{^{2}-\sqrt{1-^{2}}}{2b}$＞0．
化為：b＞$\sqrt{1-^{2}}$，又0＜b＜1，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜b＜1．
∴e=$\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-^{2}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線段的垂直平分線方程、三角形外心性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．