Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，其公比為q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，設(shè)b_k=$\frac{1}{{q}_{k}-1}$．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）若q₁=2，設(shè)c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比數(shù)列，若存在，求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，其公比為q_k，可得${a}_{2k}^{2}$=a_2k-1•a_2k+1，令k=1，可得${a}_{2}^{2}$=a₃．由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，d₁=2，可得d₁=a₃-a₂=2，聯(lián)立解出即可得出．
（2）b_n+1-b_n=$\frac{1}{{q}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{q}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{{a}_{2n+2}}{{a}_{2n+1}}-1}$-$\frac{1}{\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}-1}$，利用a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列；a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，代入化簡(jiǎn)整理可得=$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$=1，即可證明．
（3）q₁=2，b₁=1，b_n=n．可得c_n=$\frac{n}{n+1}$．假設(shè)存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比數(shù)列，則${c}_{m}^{2}$=c₁c_k，代入化簡(jiǎn)可得得k=$\frac{2{m}^{2}}{2m+1-{m}^{2}}$，對(duì)m分類討論即可得出．

解答 （1）解：∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數(shù)列，其公比為q_k，
∴${a}_{2k}^{2}$=a_2k-1•a_2k+1，
令k=1，則${a}_{2}^{2}$=a₁•a₃，a₁=1，可得${a}_{2}^{2}$=a₃，
∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數(shù)列，其公差為d_k，
d₁=2，
∴d₁=a₃-a₂=2，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{a}_{3}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$．
∴a₂=-1或2．
（2）證明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{{q}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{q}_{n}-1}$
=$\frac{1}{\frac{{a}_{2n+2}}{{a}_{2n+1}}-1}$-$\frac{1}{\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}-1}$
=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n+2}-{a}_{2n+1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{\frac{{a}_{2n}^{2}}{{a}_{2n-1}}}{\frac{{a}_{2n}^{2}}{{a}_{2n-1}}-{a}_{2n}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$=1，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為b₁=$\frac{1}{{q}_{1}-1}$．
（3）解：q₁=2，b₁=1，b_n=1+（n-1）=n．
c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
假設(shè)存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比數(shù)列，則${c}_{m}^{2}$=c₁c_k，
∴$（\frac{m}{m+1}）^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{k}{k+1}$，
解得k=$\frac{2{m}^{2}}{2m+1-{m}^{2}}$，
當(dāng)m=2時(shí)，k=8；當(dāng)m≥3時(shí)，m²＞2m+1，k＜0，舍去．
因此只有：m=2，k=8時(shí)滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．