Question

12．在數列{a_n}中，a₁=1，且對任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數列，其公比為q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數列，其公差為d_k，設b_k=$\frac{1}{{q}_{k}-1}$．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求證：數列{b_n}為等差數列；
（3）若q₁=2，設c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比數列，若存在，求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數列，其公比為q_k，可得${a}_{2k}^{2}$=a_2k-1•a_2k+1，令k=1，可得${a}_{2}^{2}$=a₃．由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數列，其公差為d_k，d₁=2，可得d₁=a₃-a₂=2，聯立解出即可得出．
（2）b_n+1-b_n=$\frac{1}{{q}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{q}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{{a}_{2n+2}}{{a}_{2n+1}}-1}$-$\frac{1}{\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}-1}$，利用a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數列；a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數列，代入化簡整理可得=$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$=1，即可證明．
（3）q₁=2，b₁=1，b_n=n．可得c_n=$\frac{n}{n+1}$．假設存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比數列，則${c}_{m}^{2}$=c₁c_k，代入化簡可得得k=$\frac{2{m}^{2}}{2m+1-{m}^{2}}$，對m分類討論即可得出．

解答 （1）解：∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數列，其公比為q_k，
∴${a}_{2k}^{2}$=a_2k-1•a_2k+1，
令k=1，則${a}_{2}^{2}$=a₁•a₃，a₁=1，可得${a}_{2}^{2}$=a₃，
∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數列，其公差為d_k，
d₁=2，
∴d₁=a₃-a₂=2，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{a}_{3}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$．
∴a₂=-1或2．
（2）證明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{{q}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{q}_{n}-1}$
=$\frac{1}{\frac{{a}_{2n+2}}{{a}_{2n+1}}-1}$-$\frac{1}{\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}-1}$
=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n+2}-{a}_{2n+1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{\frac{{a}_{2n}^{2}}{{a}_{2n-1}}}{\frac{{a}_{2n}^{2}}{{a}_{2n-1}}-{a}_{2n}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$
=$\frac{{a}_{2n}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$-$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}$=1，
∴數列{b_n}為等差數列，公差為1，首項為b₁=$\frac{1}{{q}_{1}-1}$．
（3）解：q₁=2，b₁=1，b_n=1+（n-1）=n．
c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
假設存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比數列，則${c}_{m}^{2}$=c₁c_k，
∴$（\frac{m}{m+1}）^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{k}{k+1}$，
解得k=$\frac{2{m}^{2}}{2m+1-{m}^{2}}$，
當m=2時，k=8；當m≥3時，m²＞2m+1，k＜0，舍去．
因此只有：m=2，k=8時滿足題意．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其性質、遞推關系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．