Question

13．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
（Ⅱ）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向和航行速度的大�。�，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）作OC⊥AB，則OC為小艇的最短航行路程，求出輪船的航行時間和OC的距離即可得出小艇的航行速度；
（II）設小艇與輪船在B處相遇，利用余弦定理計算航行時間t，得出AB，OB距離，從而得出∠COB的度數(shù)，得出航行方案．

解答 解：（I）過O作OC⊥AB，垂足為C，則OC=OAcos30°=10$\sqrt{3}$，
故當小艇航行距離最短時的路程為10$\sqrt{3}$．
輪船航行路程為AC=$\frac{1}{2}$OA=10，
∴航行時間為t=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$，
∴小艇的航行速度為$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{3}}$=30$\sqrt{3}$海里/時．
（II）設小艇與輪船在B處相遇，
在△AOB中，∠OAB=60°，OB=30t，AB=30t，OA=20，
由余弦定理得：OB²=AB²+OA²-2×AB×OAcos∠OAB
即（30t）²=400+900t²-1200tcos60°
∴600t=400
解得：t=$\frac{2}{3}$，∴AB=OB=20，
∴△OAB為等邊三角形，∴∠BOC=30°．
故航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

點評 本題考查了解三角形的應用，余弦定理，屬于中檔題．