Question

2．已知動圓過定點R（0，2），且在x軸上截得的線段MN的長為4，直線l：y=kx+t（t＞0）交y軸于點Q．
（1）求動圓圓心的軌跡E的方程；
（2）直線l與軌跡E交于A、B兩點，分別以A、B為切點作軌跡E的切線交于點P，若tan∠APB=$\frac{|\overrightarrow{PQ}|•|\overrightarrow{AB}|}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$，試判斷點Q是否為定點，若是，請求出點Q的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動圓過定點以及直線和x軸相交的弦長理由參數(shù)消元法即可求動圓圓心的軌跡E的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁≠x₂，P（x₀，y₀），利用設而不求的思想，結(jié)合曲線在A，B處的切線方程，求出交點坐標借助向量數(shù)量積的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）設動圓圓心的坐標為（x，y），半徑r，（r＞0），
∵動圓過定點R（0，2），且在x軸上截得線段MN的長為4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\\{{y}^{2}+4={r}^{2}}\end{array}\right.$，消去r得x²=4y，
故所求軌跡E的方程為x²=4y；
（2）不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
P（x₀，y₀），由題知Q（0，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx-4t=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4t，軌跡E在A點處的切線方程為l₁：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
同理，軌跡E在B處的切線方程為l₁：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$x-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，
聯(lián)立l₁，l₂：的方程解得交點坐標P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即P（2k，-t），
由tan∠APB=$\frac{|\overrightarrow{PQ}|•|\overrightarrow{AB}|}{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}}$得到|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|sin∠APB=|$\overrightarrow{PQ}$|•|$\overrightarrow{AB}$|=2S_△APB，
得$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
$\overrightarrow{PQ}$=（-2k，2t），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{4}$），
∴-2k（x₂-x₁）+2t•$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=0，
即2k（x₂-x₁）（t-1）=0，
則2k（t-1）=0，
則t=1，
故Q是定點，坐標為（0，1）．

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的軌跡問題，涉及直線和拋物線的相交的位置關(guān)系，利用設而不求的數(shù)學思想是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．