Question

13．已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），滿足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部是2，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限．
（1）求z；
（2）若z，z²，z-z²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C．求cos∠ABC．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組求解即可．
（2）求出復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)三角形求解即可．

解答 解：（1）復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），滿足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部是2，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{2xy=2}\end{array}\right.$，解得：x=y=1．
z=1+i．
（2）z，z²，z-z²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C．
A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
cos∠ABC=$\frac{3}{|BC|}$=$\frac{3}{\sqrt{（0-1）^{2}+（2+1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及計(jì)算能力．