Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-4lnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）-x²-ax-1在區(qū)間[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2（x+2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-x²-ax-1=（2-a）x-4lnx（x＞0），
g′（x）=$\frac{（2-a）（x-\frac{4}{2-a}）}{x}$，
∵0＜a＜2，∴2-a＞0，$\frac{4}{2-a}$＞0，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{4}{2-a}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{4}{2-a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{4}{2-a}$）遞減，在（$\frac{4}{2-a}$，+∞）遞增；
①當(dāng)0＜$\frac{4}{2-a}$＜3，即0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，g（x）在（0，$\frac{4}{2-a}$）遞減，在（$\frac{4}{2-a}$，3）遞增，
∴g_（x）min=g（$\frac{4}{2-a}$=4-4ln$\frac{4}{2-a}$，
②當(dāng)$\frac{4}{2-a}$≥3，即$\frac{2}{3}$≤a＜2時(shí)，g（x）在[0，3]遞減，
∴g（x）_min=g（3）=6-3a-4ln3，
綜上，0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，g_（x）min=4-4ln$\frac{4}{2-a}$，$\frac{2}{3}$≤a＜2時(shí)，g（x）_min=6-3a-4ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．