Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）的導數(shù)，f'（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=$\frac{2（x-\sqrt{e}）（x+\sqrt{e}）}{x}$，根據(jù)導函數(shù)的零點求出f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值；
（2）函數(shù)f（x）=x²+alnx為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù) 可轉(zhuǎn)換為：所以a≤-2x²在[1，4]上恒成立．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
當a=-2e時，f'（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=$\frac{2（x-\sqrt{e}）（x+\sqrt{e}）}{x}$
令f'（x）=0，故導函數(shù)的零點為$\sqrt{e}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調(diào)遞減，（$\sqrt{e}$，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的極小值為f（$\sqrt{e}$）=0，無極大值；
（II）由f（x）=x²+alnx，得f'（x）=2x+$\frac{a}{x}$
又函數(shù)f（x）=x²+alnx為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)，
則f'（x）≤0在[1，4]上恒成立．
所以a≤-2x²在[1，4]上恒成立，所以a的取值范圍是（-∞，-32]．

點評 本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)以及單調(diào)區(qū)間、恒成立問題，屬中等題．