Question

12．已知圓C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圓心在直線l₁：x+y+2=0上，則圓C截直線l₂：3x+4y-5=0所得的弦長為8．

Answer 1

分析 先求出圓C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圓心C（2，-4），半徑r=5，再過河卒子 同圓C（2，-4）直線l₂：3x+4y-5=0的距離d=3，由此能求出圓C截直線l₂：3x+4y-5=0所得的弦長．

解答 解：∵圓C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圓心C（a，-2a）在直線l₁：x+y+2=0上，
∴a-2a+2=0，解得a=2，
∴圓C：x²+y²-2ax+4ay+5a²-25=0的圓心C（2，-4），
半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+64+20}$=5，
圓心C（2，-4）直線l₂：3x+4y-5=0的距離d=$\frac{|6-16-5|}{\sqrt{9+16}}$=3，
∴圓C截直線l₂：3x+4y-5=0所得的弦長|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-h1xnhb1^{2}}$=2$\sqrt{25-9}$=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查圓截直線所得弦長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．