Question

9．若非零不共線向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是|．（　�。�
①向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角恒為銳角  ②2|$\overrightarrow$|²＞$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$  ③|2$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|④|2$\overrightarrow{a}$|＞|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對(duì)于①，利用已知條件，推出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$組成的三角形是等腰三角形，判定正誤即可；對(duì)于②，利用數(shù)量積公式，結(jié)合已知條件，判斷正誤；對(duì)于③，通過(guò)平方以及向量的數(shù)量積判斷正誤；對(duì)于④，由|2$\overrightarrow{a}$|＜|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|等價(jià)于4${\overrightarrow{a}}^{2}$＜4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，即4|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞＜|$\overrightarrow$|，該式不一定成立，說(shuō)明④錯(cuò)誤．

解答 解：∵非零不共線向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，
∴向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$組成的三角形是等腰三角形，
且向量$\overrightarrow{a}$為底邊，故向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角恒為銳角，①正確；
②2|$\overrightarrow$|²＞$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$等價(jià)于2|$\overrightarrow$|²＞|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞，等價(jià)于2|$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞．
而由|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|，可得|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|+|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞，即 2|$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞成立，故②正確；
③|2$\overrightarrow$|＞|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|等價(jià)于4${\overrightarrow}^{2}$＞${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$，等價(jià)于4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞{\overrightarrow{a}}^{2}$，
等價(jià)于4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞＞${\overrightarrow{a}}^{2}$，等價(jià)于  4|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞＞|$\overrightarrow{a}$|．
而2|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=|$\overrightarrow{a}$|，∴4|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞＞|$\overrightarrow{a}$|成立，故③正確．
④|2$\overrightarrow{a}$|＜|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|等價(jià)于4${\overrightarrow{a}}^{2}$＜4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，等價(jià)于4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜${\overrightarrow}^{2}$，
等價(jià)于4|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞＜|$\overrightarrow$|，該式不一定成立，故④不正確．
∴正確的結(jié)論有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．