Question

4．設(shè)△ABC的內(nèi)角，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3acosC=4csinA，若△ABC的面積S=10，b=4，則a的值為$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，得到sinA不為0，等式兩邊同時除以sinA，得到tanC，由C為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，進而利用三角形面積公式即可得解a的值．

解答 解：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴4csinA=3acosC變形為：4sinCsinA=3sinAcosC，
又∵A為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，
∴4sinC=3cosC，即tanC=$\frac{3}{4}$，
∵C為三角形的內(nèi)角，可得：cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{4}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$，
∵b=4，S=10=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×a×4×$$\frac{3}{5}$，
∴解得：a=$\frac{25}{3}$．
故答案為：$\frac{25}{3}$．

點評 此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．