Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$及點(diǎn)B（0，a），過B與橢圓相切的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則∠ABF=（　�。�

• A． 60°
• B． 90°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出過B的直線方程為y=kx+a，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0求得k，進(jìn)一步得到直線方程，求出A的坐標(biāo)，然后利用余弦定理求得∠ABF．

解答 解：如圖，
設(shè)過B的直線方程為y=kx+a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²k²+b²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0．
由△=4a⁶k²-4（a²k²+b²）（a⁴-a²b²）=0，得$k=±\frac{c}{a}$．
由題意取k=$\frac{c}{a}$，則直線方程為y=$\frac{c}{a}x+a$，取y=0，得x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$．
∴A（$-\frac{{a}^{2}}{c}，0$），
在△ABF中，${AB}^{2}={a}^{2}+\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}=\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$，BF²=a²+c²，
$A{F}^{2}=（c+\frac{{a}^{2}}{c}）^{2}=\frac{{c}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
∴cos∠ABF=$\frac{A{B}^{2}+B{F}^{2}-A{F}^{2}}{2•\frac{a}{c}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}+{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{{c}^{4}+2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{3}+2a{c}^{2}}{c}}$=0．
∴∠ABF=90°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．