Question

10．設y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積；
（2）若直線x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導函數(shù)的解析式設出原函數(shù)的解析式，根據(jù)有兩個相等的實根可得f（x）=x²+2x+1，根據(jù)定積分的定義可得答案．
（2）利用定積分求面積，即可求t的值．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+c
又方程f（x）=0有兩個相等實根，
∴判別式△=4-4c=0，即c=1．
故f（x）=x²+2x+1．
依題意，所求面積=${∫}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$
故y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成封閉圖形的面積為$\frac{1}{3}$．
（2）${∫}_{-t}^{0}$（x²+2x+1）dx=${∫}_{-1}^{-t}$（x²+2x+1）dx，
∴（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-t}^{0}$=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-1}^{-t}$
∴2（$\frac{1}{3}$t³-t²+t）=$\frac{1}{3}$，
∴（t-1）³=-$\frac{1}{2}$
∴t=1-$\root{3}{\frac{1}{2}}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的逆運算和定積分在求面積中的應用．屬中檔題．