Question

17．敘述并證明直線與平面垂直的判定定理．

Answer 1

分析 根據(jù)定理畫出圖形，只需把直線表示出向量，利用向量的數(shù)量積為0即可證明垂直．

解答 解：定理敘述：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)兩條相交直線，則該直線與此平面垂直．
如圖，已知：直線b⊆π，c⊆π，b∩c=A，a⊥b，a⊥c，求證：a⊥平面π．
證明：設(shè)p是平面π內(nèi)任意一條直線，則只需證a⊥p，
設(shè)直線a，b，c，p的方向向量分別是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{p}$，
只需證$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{p}$，

∵b∩c=A，
∴b與c不共線，
直線b，c，p在同一平面π內(nèi)，
根據(jù)平面向量基本定理存在實數(shù)λ，μ使得$\overrightarrow{p}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{p}$=λ（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）+μ（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$），
∵a⊥b，a⊥c，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{p}$=0，即a⊥p，
所以直線a垂直于平面π．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面向量的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．