Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R），
（Ⅰ）若a=-2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），f（1）的值，代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，從而求出a的范圍．

解答 解：（ I）由已知：a=2時，f（x）=lnx-2x，（x＞0），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2，（x＞0）$，
f′（1）=3所以斜率k=3，f（1）=2，
又切點為（1，2），所以切線方程為y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；                                 …（2分）
（ II）$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}，（x＞0）$
①當(dāng)a≤0時，由于x＞0，得：1-ax＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），…（4分）
②當(dāng)a＞0時，f′（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$，
在區(qū)間$（0，\frac{1}{a}）$上，f′（x）＞0，
在區(qū)間$（\frac{1}{a}，+∞）$上，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，
單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，+∞）$；                     …（8分）
（ III）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜0，
由（ II）知，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，值域為R，
不符合題意，
當(dāng)a＞0時，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$單調(diào)遞增，f（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$單調(diào)遞減，
所以f（x）的極大值即為最大值，$f（\frac{1}{a}）=ln（\frac{1}{a}）-1=-lna-1$，
所以-lna-1＜0，解得：$a＞\frac{1}{e}$．…（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．