Question

5．已知動圓過定點$（{0，\frac{1}{2}}）$，且與直線y=-$\frac{1}{2}$相切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設Q是軌跡C上一點，過Q作圓P：（x-6）²+y²=1的切線，其中A、B是切點，若軌跡C在點Q處的切線與直線AB平行，求直線AB方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）個別化動圓和點和直線的位置關系建立方程結(jié)合拋物線的定義即可求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）求出圓的切線，結(jié)合切線和直線AB的婆媳關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因為動圓圓心到定點$（{0，\frac{1}{2}}）$與定直線$y=-\frac{1}{2}$的距離相等，
由拋物線的定義知，動圓圓心軌跡為拋物線…（2分）
其中$（{0，\frac{1}{2}}）$為焦點，$y=-\frac{1}{2}$為準線，所以軌跡方程為x²=2y…（4分）
（Ⅱ）  設Q（m，n），由x²=2y，得$y=\frac{1}{2}{x^2}$，函數(shù)的導數(shù)y′=f′（x）=x，Q處的切線斜率為f′（m）=m…（5分）
線段PQ中點$（\frac{6+m}{2}，\frac{n}{2}）$，A、B是以PQ為直徑的圓R與圓P的兩交點．
圓R的方程為：$（x-\frac{m+6}{2}{）^2}+{（y-\frac{n}{2}）^2}=\frac{{{{（m-6）}^2}}}{4}+\frac{{{{（n）}^2}}}{4}$
即：x²+y²-（m+6）x-ny+6m=0…（7分）
又圓P方程為：x²+y²-12x+35=0
相減得：（m-6）x+ny-6m+35=0…（9分）
當n≠0時，因為Q處的切線與直線AB平行，$m=\frac{6-m}{n}$，
即nm=6-m，
∵m²=2n，
∴n=$\frac{1}{2}$m²，
即$\frac{1}{2}$m³=6-m，
即m³+2m-12=0，
即（m-2）（m²+2m+6）=0，
∴m=2，則n=2
所以，直線AB方程是4x-2y-23=0
當n=0時，Q處的切線與AB垂直，不符合題設…（12分）
另解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當OA和過A的切線斜率都存在時
則過A（x₁，y₁）的切線方程：$y-{y_1}=-\frac{{{x_1}-6}}{y_1}（x-{x_1}）$（1）
因為 A（x₁，y₁）在圓P上，所以${x_1}^2+{y_1}^2-12{x_1}+35=0$
上且切線過Q（m，n），所以，$n-{y_1}=-\frac{{{x_1}-6}}{y_1}（m-{x_1}）$
以上兩式代入（1）整理得：（m-6）x₁+ny₁-6m+35=0…（7分）
當OA和過A的切線斜率都有一條不存在時，上式同樣成立
同理可得 （m-6）x₂+ny₂-6m+35=0…（8分）
所以直線mx+（2-n）y-2n+3=0過A、B兩點，是直線AB方程的方程…（10分）
因為，Q處的切線與直線AB平行，$m=\frac{6-m}{n}$，
即nm=6-m，
∵m²=2n，
∴n=$\frac{1}{2}$m²，
即$\frac{1}{2}$m³=6-m，
即m³+2m-12=0，
即（m-2）（m²+2m+6）=0，
∴m=2，則n=2
所以，直線AB方程是4x-2y-23=0…（12分）

點評 本題主要考查點的軌跡的求解以及直線和圓錐曲線的位置關系的應用，利用拋物線的定義求出點的軌跡是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．