Question

4．在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=$5\sqrt{5}$．（如圖所示）
（1）證明：平面SBC⊥平面SAC；
（2）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大�。�
（3）求三棱錐的體積V_S-ABC．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)已知條件證明SA⊥平面ABC，得到SA⊥BC，從而利用線面垂直判斷證明BC⊥平面SAC；
（2）∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角．利用數(shù)量關(guān)系即可求得二面角；
（3）三棱錐S-ABC以SA為高，△ABC為底面，利用體積公式直接可求出體積；

解答 （1）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC．
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC．
∵BC?平面ABC
∴SA⊥BC；
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵SA，AC在平面SAC內(nèi)相交于A點，
∴BC⊥平面SAC．
∵BC?平面SBC
∴平面SBC⊥平面SAC；
（2）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC．
∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5$\sqrt{5}$，得SC=$\sqrt{S{B}^{2}-B{C}^{2}}$=10．
在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cos∠SCA=$\frac{AC}{SC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°．
（3）解：在Rt△SAC中，
∵SA=$\sqrt{S{C}^{2}-A{C}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}=\sqrt{75}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ACB•SA=$\frac{1}{3}×\frac{25}{2}×\sqrt{75}=\frac{125\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定定理，二面角的求法以及棱錐體積公式的應(yīng)用，屬中等題．